מהי אלגברה? »הגדרתו ומשמעותו

האלגברה היא ענף של מתמטיקה כי מספרי שימושים, אותיות וסימנים להתייחס פעולות החשבון השונות המבוצעות. כיום נעשה שימוש באלגברה כמשאב מתמטי במערכות יחסים, מבנים וכמות. אלגברה אלמנטרית היא הנפוצה ביותר מכיוון שהיא זו המשתמשת בפעולות חשבון כגון חיבור, חיסור, כפל וחילוק שכן, בניגוד לחשבון, הוא משתמש בסמלים כמו xy שהם הנפוצים ביותר במקום להשתמש במספרים.

מהי אלגברה

תוכן עניינים

הענף הוא השייך למתמטיקה, המאפשר לפתח ולפתור בעיות חשבון באמצעות אותיות, סמלים ומספרים, שבתורם מסמלים אובייקטים, נושאים או קבוצות של אלמנטים. זה מאפשר לנסח פעולות המכילות מספרים לא ידועים, הנקראות לא ידועים וזה מאפשר פיתוח משוואות.

באמצעות אלגברה, האדם הצליח להסביר באופן מופשט וגנרי, אך גם מתקדם יותר, באמצעות חישובים מורכבים יותר, שפותחו על ידי אינטלקטואלים מתמטיים ופיזיים כמו סר אייזק ניוטון (1643-1727), ליאונהרד אוילר (1707- 1783), פייר דה פרמה (1607-1665) או קרל פרידריך גאוס (1777-1855), בזכות תרומתן יש לנו את ההגדרה של אלגברה כפי שהיא ידועה כיום.

עם זאת, על פי ההיסטוריה של האלגברה, דיופנטוס מאלכסנדריה (תאריך לידה ופטירה לא ידוע, האמין כי חי בין המאה ה -3 ל -4), היה למעשה אביו של ענף זה, כאשר הוא פרסם עבודה בשם Arithmetica, אשר זה היה מורכב משלושה עשר ספרים ובהם הציג בעיות עם משוואות שלמרות שהן לא תואמות אופי תיאורטי, הן מתאימות לפתרונות כלליים. זה עזר להגדיר מהי אלגברה, ובין רבים מהתרומות שהעניקה, היה זה יישום סמלים אוניברסליים לייצוג של אלמוני בתוך משתני הבעיה שיש לפתור.

מקור המילה "אלגברה" מקורו בערבית ופירושה "שחזור" או "הכרה". באותו אופן יש לו משמעות בלטינית, המתאימה ל"צמצום ", ולמרות שהם אינם מונחים זהים, הם מתכוונים לאותו הדבר.

ככלי נוסף לחקר הענף הזה, תוכלו לקבל את המחשבון האלגברי, שהוא מחשבונים שיכולים לשרטט פונקציות אלגבריות. מאפשר בדרך זו לשלב, לגזור, לפשט ביטויים ופונקציות גרף, ליצור מטריצות, לפתור משוואות, בין יתר פונקציות, אם כי כלי זה מתאים יותר לרמה גבוהה יותר.

בתוך אלגברה נמצא המונח האלגברי, שהוא תוצר של גורם מספרי של משתנה אותיות אחד לפחות; שבו ניתן להבדיל בין כל מונח למקדם המספרי שלו, למשתנים שלו המיוצגים באותיות ולמידת המונח בעת הוספת מעריכי האלמנטים המילוליים. המשמעות היא שלמונח האלגברי p5qr2, המקדם יהיה 1, החלק המילולי שלו יהיה p5qr2, ומידתו תהיה 5 + 1 + 2 = 8.

מהו ביטוי אלגברי

זהו ביטוי המורכב מקבועים שלמים, משתנים ופעולות אלגבריות. ביטוי אלגברי מורכב מסימנים או סמלים ומורכב מאלמנטים ספציפיים אחרים.

באלגברה אלמנטרית, כמו גם בחשבון, הפעולות האלגבריות המשמשות לפתרון בעיות הן: חיבור או חיבור, חיסור או חיסור, כפל, חלוקה, העצמה (כפל של גורם מרובה פעמים) והקרנות (פעולה הפוכה של פוטנציאל).

הסימנים המשמשים בפעולות אלה זהים לאלה המשמשים בחשבון לחיבור (+) וחיסור (-), אך לצורך הכפל, ה- X (x) מוחלף בנקודה (.) או שניתן לייצג אותם בסימני קיבוץ (דוגמה: cd ו- (c) (d) שווים לאלמנט "c" כפול האלמנט "d" או cxd) ובחלוקה האלגברית משתמשים בשתי נקודות (:).

נעשה שימוש גם בסימני קיבוץ, כגון סוגריים (), סוגריים מרובעים, סוגריים {} ופסים אופקיים. נעשה שימוש גם בסימני קשר, שהם אלה המשמשים לציון שיש מתאם בין שני נתונים ובין הנפוצים ביותר שווים (=), גדולים מ (>) ופחות מ (<).

כמו כן, הם מאופיינים על ידי שימוש במספרים ממשיים (רציונליים, הכוללים חיובי, שלילי ואפס; ובלתי רציונליים, שהם אלה שלא ניתן לייצג אותם כשברים) או מורכבים, המהווים חלק מהריאלי, ויוצרים שדה סגור אלגברי..

אלה הביטויים האלגבריים העיקריים

ישנם ביטויים שהם חלק מהתפיסה של מהי אלגברה, ביטויים אלה מסווגים לשני סוגים: מונומיאלים, שהם אלה שיש להם תוספת אחת; ו פולינומי, שבו יש שני (binomials), שלוש (trinomials) או יותר addends.

כמה דוגמאות למונומיות יהיו: 3x, π

בעוד כמה פולינומים יכולים להיות: 4 × 2 + 2x (בינומי); 7ab + 3a3 (טרינום)

חשוב להזכיר שאם המשתנה (במקרה זה "x") נמצא במכנה או בתוך שורש, הביטויים לא יהיו מונומיות או פולינומים.

מהי אלגברה לינארית

תחום זה של מתמטיקה ואלגברה הוא זה החוקר את המושגים וקטורים, מטריצות, מערכות משוואות ליניאריות, רווחים וקטוריים, טרנספורמציות לינאריות ומטריצות. כפי שניתן לראות, לאלגברה לינארית יש יישומים שונים.

התועלת שלו משתנה מחקר מרחב הפונקציות, שהם אלה שמוגדרים על ידי קבוצה X (אופקית) לקבוצה Y (אנכית) ומוחלים על מרחבים וקטוריים או טופולוגיים; משוואות דיפרנציאליות, המתייחסות לפונקציה (ערך שתלוי בערך השני) עם נגזרותיה (קצב שינוי מיידי שגורם לערך של פונקציה נתונה להשתנות); מחקר תפעולי, המיישם שיטות אנליטיות מתקדמות לקבלת החלטות נכונות; כדי ההנדסה.

אחד הצירים העיקריים של חקר האלגברה הליניארית נמצא במרחבים וקטוריים, המורכבים ממכלול וקטורים (מקטעי קו) וממכלול סקלרים (מספרים אמיתיים, קבועים או מורכבים, בעלי גודל אך לא את מאפיין וקטורי כיוון).

המרחבים הווקטוריים הסופיים העיקריים הם שלושה:

• וקטורים ב Rn, המייצגים קרטזיים (ציר X אופקי וציר Y אנכי).
• המטריצות, שהן ביטויי מערכות מלבניים (המיוצגים על ידי מספרים או סמלים), מאופיינות על ידי מספר השורות (בדרך כלל מיוצג על ידי האות "מ") ומספר העמודות (המצוין עם האות "n"), ו הם משמשים במדע והנדסה.
• מרחב הווקטורים של פולינומים באותו משתנה, שניתן על ידי פולינומים שאיננו עולים מדרגה 2, יש מקדמים אמיתיים נמצאים על המשתנה "x".

פונקציות אלגבריות

הכוונה היא לפונקציה התואמת לביטוי אלגברי, תוך סיפוק משוואת פולינום (המקדמים שלה יכולים להיות מונומיאליות או פולינום). הם מסווגים כ: ערך רציונלי, לא רציונלי ומוחלט.

• הפונקציות הרציונליות השלמות הן אלה המתבטאות ב:, כאשר "P" ו- "Q" מייצגים שני פולינומים ו- "x" את המשתנה, כאשר "Q" שונה מפולינום האפס, והמשתנה "x" אינו מבטל את המכנה.
• פונקציות לא רציונליות, בהן הביטוי f (x) מייצג רדיקל, כך: אם הערך של "n" הוא שווה, הרדיקל יוגדר כך ש- g (x) יהיה גדול ושווה ל- 0, ויש לציין גם את סימן התוצאה, שכן בלעדיה לא ניתן יהיה לדבר על פונקציה, מכיוון לכל ערך של "x" יהיו שתי תוצאות; בעוד שאינדקס הרדיקל הוא מוזר, אין זה הכרחי מאחר והתוצאה תהיה ייחודית.
• הערך המוחלט מתפקד, כאשר הערך המוחלט של מספר ממשי יהיה הערך המספרי שלו שמשאיר את סימנו. לדוגמא, 5 יהיה הערך המוחלט של 5 ושל -5.

יש פונקציות אלגבריות מפורשות, בהן המשתנה "y" יהיה תוצאה של שילוב המשתנה "x" מספר מוגבל של פעמים, תוך שימוש בפעולות אלגבריות (למשל, תוספת אלגברית), הכוללות גובה לפוטנציות ולמיצוי שורשים; זה יתורגם ל- y = f (x). דוגמה לסוג זה של פונקציה אלגברית יכולה להיות הבאה: y = 3x + 2 או מה יהיה זהה: (x) = 3x + 2, מכיוון ש- "y" מתבטא רק במונחים של "x".

מצד שני, ישנם המשתמעים, שהם אלה שבהם המשתנה "y" אינו מתבטא רק כפונקציה של המשתנה "x", ולכן y ≠ f (x). כדוגמא לסוג פונקציה זה, יש לנו: y = 5x3y-2

דוגמאות לפונקציות אלגבריות

ישנם לפחות 30 סוגים של פונקציות אלגבריות, אך בין הבולטות ביותר יש את הדוגמאות הבאות:

1. פונקציה מפורשת: ƒ () = חטא

2. פונקציה מרומזת: yx = 9 × 3 + x-5

3. פונקציה פולינומית:

א) קבוע: ƒ () = 6

ב) מדרגה ראשונה או ליניארית: ƒ () = 3 + 4

ג) דרגה שנייה או ריבועית: ƒ () = 2 + 2 + 1 או (+1) 2

ד) דרגה שלישית או מעוקבת: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9

4. פונקציה רציונלית: ƒ

5. פונקציה פוטנציאלית: ƒ () = - 1

6. פונקציה רדיקלית: ƒ () =

7. פונקציה לפי קטעים: ƒ () = אם 0 ≤ ≤ 5

מהי אלגברה של בלדור

כשמדברים על מהי האלגברה של בלדור, הכוונה היא ליצירה שפיתח המתמטיקאי, הפרופסור, הסופר ועורך הדין אורליו בלדור (1906-1978), שפורסמה בשנת 1941. בפרסום הפרופסור, מי נולד בהוואנה, קובה, 5,790 תרגילים נבדקים, שווה ערך ל- 19 תרגילים בממוצע למבחן.

בלדור פרסם עבודות נוספות, כמו "גיאומטריה של מישור וחלל", "טריגורונומטריה של בלדור" ו"אריתמטיקה של בלדור ", אך זו שהשפיעה ביותר בתחום ענף זה הייתה" אלגברה של בלדור ".

עם זאת, חומר זה מומלץ יותר לרמת חינוך בינונית (כגון בית ספר תיכון), מכיוון שבדרגים גבוהים יותר (אוניברסיטה) הוא כמעט ולא ישמש השלמה לטקסטים מתקדמים אחרים בהתאם לרמה זו.

הכריכה המפורסמת בהשתתפות המתמטיקאי, האסטרונום והגאוגרף המוסלמי הפרסי (אל-ג'ואריסמי) (780-846), ייצגה בלבול בקרב התלמידים שהשתמשו בכלי המתמטי המפורסם הזה, מכיוון שחושבים שדמות זו נוגעת בערך מחברו בלדור.

תוכן העבודה מחולק ל 39 פרקים ונספח, המכיל טבלאות חישובים, טבלה של צורות בסיסיות של פירוק גורמים וטבלאות שורשים וכוחות; ובסוף הטקסט התשובות לתרגילים.

בתחילת כל פרק יש איור המשקף סקירה היסטורית של המושג שפותח ויוסבר להלן, ומזכיר דמויות היסטוריות בולטות בתחום, על פי ההקשר ההיסטורי בו נמצאת התייחסות המושג. דמויות אלה נעות בין פיתגורס, ארכימדס, אפלטון, דיופנטוס, היפטיה ואוקלידס, ועד רנה דקארט, אייזיק ניוטון, לאונרדו אוילר, בלאס פסקל, פייר-סימון לפלס, יוהן קרל פרידריך גאוס, מקס פלאנק ואלברט איינשטיין.

מה היה התהילה של הספר הזה?

הצלחתה נעוצה בעובדה שהוא, בנוסף להיותו יצירה ספרותית חובה מפורסמת בבתי ספר תיכוניים באמריקה הלטינית, הוא הספר המתייעץ והמלא ביותר בנושא, מכיוון שהוא מכיל הסבר ברור למושגים ולמשוואותיהם האלגבריות, כמו גם נתונים היסטוריים על ההיבטים. ללמוד, בו מטפלים בשפה האלגברית.

ספר זה הוא חניכה מצטיינת עבור סטודנטים לעולם האלגברי, למרות שלחלקם הוא מייצג מקור ללימודי השראה ועבור אחרים חוששים ממנו, האמת היא שזו ביבליוגרפיה חובה ואידיאלית להבנת טוב יותר את הנושאים המכוסים..

מהי אלגברה בוליאנית

המתמטיקאי האנגלי ג'ורג 'בול (1815-1864), יצר קבוצת חוקים וכללים לביצוע פעולות אלגבריות, עד כדי כך שחלק ממנה קיבל את שמו. לכן, המתמטיקאי והלוגיקן האנגלי נחשב לאחד ממבשרי מדעי המחשב.

בבעיות ההגיוניות והפילוסופיות, החוקים שפיתח בול אפשרו לפשט אותם בשני מצבים, שהם המצב האמיתי או המצב השקרי, ומסקנות אלה הושגו בדרך מתמטית. חלק ממערכות הבקרה המיושמות, כמו מגעים וממסרים, משתמשות ברכיבים פתוחים וסגורים, כשהפתוח הוא זה שמוליך והסגור הוא זה שלא. זה ידוע בשם הכל או כלום באלגברה בוליאנית.

למצבים כאלה יש ייצוג מספרי של 1 ו -0, כאשר 1 מייצג את האמיתי ו- 0 את השקר, מה שמקל על המחקר שלהם. על פי כל אלה, כל רכיב מכל הסוגים או כלום יכול להיות מיוצג על ידי משתנה לוגי, מה שאומר שהוא יכול להיות בערך 1 או 0, ייצוגים אלה ידועים כקוד בינארי.

אלגברה בוליאנית מאפשרת לפשט מעגלי לוגיקה או מיתוג לוגי בתוך האלקטרוניקה הדיגיטלית; גם באמצעותו, חישובים ופעולות לוגיות של המעגלים יכולים להתבצע בצורה מפורשת יותר.

באלגברה בוליאנית ישנם שלושה נהלים בסיסיים, שהם: המוצר הלוגי, שער AND או פונקציית צומת; הסכום ההגיוני, שער OR או פונקציית האיחוד; ושלילה הגיונית, לא שער או פונקציית השלמה. יש גם כמה פונקציות עזר: שלילת מוצרים לוגית, שער NAND; שלילת סכום הגיוני, שער NOR; סכום לוגי בלעדי, שער XOR; ושלילת סכום לוגי בלעדי, שער XNOR.

בתוך האלגברה הבוליאנית, ישנם מספר חוקים, ביניהם:

• חוק ביטול. נקרא גם חוק הביטול, ובו נאמר כי בתרגיל כלשהו לאחר תהליך, המונח העצמאי יבוטל, כך ש- (AB) + A = A ו- (A + B). A = A.
• דיני זהות. או של זהות האלמנטים 0 ו- 1, הוא קובע כי משתנה שאליו מתווסף האלמנט null או 0, יהיה שווה לאותו משתנה A + 0 = A באותו אופן כאילו המשתנה מוכפל ב- 1, התוצאה היא אותה A.1 = a.
• חוק חסר יכולת. הברית כי פעולה מסוימת יכולה להתבצע מספר פעמים את אותה התוצאה, כך שאם יש לך שילוב A + A = A ו- אם היא ניתקת AA = A.
• המשפט הקומוטטיבי. אמצעי זה שלא משנה את הסדר שבו המשתנים הם, כך A + B = B + A.
• חוק שלילה כפולה. O לפוף, קובע כי אם הכחשה ניתנת הכחשה אחרת תוצאה חיובית, כך (א ") = A.
• משפט מורגן. אלה אומרים שסכום של כמה משתנים שנשללים באופן כללי יהיה שווה לתוצר של כל משתנה שנשלל באופן עצמאי, ולכן (A + B) '= A'.B' ו- (AB) '= A' + B '.
• דיני חלוקה. הוא קובע שכאשר מכניסים כמה משתנים, אשר יוכפלו במשתנה חיצוני אחר, זה יהיה זהה להכפלת כל משתנה המקובץ במשתנה החיצוני, באופן הבא: A (B + C) = AB + AC.
• חוק הקליטה. זה אומר שאם משתנה A מרמז על משתנה B, אז המשתנה A מרמז על A ו- B, ו- A "ייקלט" על ידי B.
• משפט אסוציאטיבי. בניתוק או בעת הצטרפות למספר משתנים, התוצאה תהיה זהה ללא קשר לקיבוצם; כך שבתוספת A + (B + C) = (A + B) + C (האלמנט הראשון פלוס האסוציאציה של שני האחרונים, שווה לאסוציאציה של שני הראשונים פלוס האחרון).