משוואה נקראת השוויון המתמטי שקיים בין שני ביטויים, זה מורכב מאלמנטים שונים ידועים (נתונים) ואלמונים (לא ידועים), שקשורים באמצעות פעולות מספריות מתמטיות. הנתונים מיוצגים בדרך כלל על ידי מקדמים, משתנים, מספרים וקבועים, בעוד שהלא ידועים מסומנים באותיות ומייצגים את הערך שברצונך לפענח באמצעות המשוואה. נעשה שימוש נרחב במשוואות, בעיקר כדי להראות את הצורות המדויקות ביותר של חוקים מתמטיים או פיזיקליים, המבטאים משתנים.
מהי משוואה
תוכן עניינים
המונח מקור בלטינית "aequatio", שמשמעותו מתייחסת להשוות. תרגיל זה הוא שוויון מתמטי הקיים בין שני ביטויים, אלה ידועים כחברים אך הם מופרדים על ידי סימן (=), באלה ישנם אלמנטים ידועים וכמה נתונים או לא ידועים שקשורים באמצעות פעולות מתמטיות. ערכים הם מספרים, קבועים או מקדמים, אם כי הם יכולים להיות גם אובייקטים כגון וקטורים או משתנים.
היסודות או הלא ידועים נקבעים באמצעות משוואות אחרות, אך עם הליך לפתרון משוואות. מערכת משוואות נחקרת ונפתרת בשיטות שונות, למעשה, הדבר קורה עם משוואת ההיקף.
היסטוריה של משוואות
הציוויליזציה המצרית הייתה אחת הראשונות שהשתמשו בנתונים מתמטיים, מכיוון שבמאה ה -16 הם כבר יישמו את המערכת הזו, כדי לפתור בעיות הקשורות להפצת מזון, למרות שהם לא נקראו משוואות, אפשר לומר שהיא המקבילה לזמן הנוכחי..
הסינים ידעו גם על פתרונות מתמטיים כאלה, מכיוון שבתחילת העידן הם כתבו ספר בו הוצעו שיטות שונות לפתרון תרגילים בכיתה ב 'ו'א'.
בימי הביניים, האלמונים המתמטיים זכו לתנופה גדולה, שכן הם שימשו כאתגרים ציבוריים בקרב המתמטיקאים המומחים של אז. במאה ה -16 גילו שני מתמטיקאים חשובים גילוי השימוש במספרים דמיוניים כדי לפתור את נתוני התואר השני, השלישי והרביעי.
גם באותה מאה רנה דקארט התפרסם בסימון המדעי, בנוסף לכך, בשלב היסטורי זה אחד המשפטים הפופולריים ביותר במתמטיקה הוכרז גם כ"משפטו האחרון של פרמה ".
במהלך המאה השבע עשרה החוקרים גוטפריד לייבניץ ואייזק ניוטון אפשרו את הפיתרון של הלא ידועים הדיפרנציאליים, שהוליד סדרה של תגליות שהתרחשו באותה תקופה בנוגע למשוואות הספציפיות הללו.
רבים היו המאמצים שעשו המתמטיקאים עד תחילת המאה ה -19 למצוא את הפיתרון למשוואות התואר החמישי, אך כולם היו ניסיונות כושלים, עד שנילס הנריק הבל גילה כי אין נוסחה כללית לחישוב התואר החמישי, גם כן במהלך תקופה זו הפיזיקה השתמשה בנתונים דיפרנציאליים בלא ידוע אינטגרלי ונגזר, דבר שהוליד פיזיקה מתמטית.
במאה ה -20 גובשו משוואות הדיפרנציאל הראשונות עם פונקציות מורכבות המשמשות במכניקת הקוונטים, שיש להן תחום לימוד רחב בתיאוריה הכלכלית.
יש להתייחס גם למשוואת דיראק, שהיא חלק ממחקרי הגלים היחסית במכניקת הקוונטים ואשר גובשה בשנת 1928 על ידי פול דיראק. משוואת דירק תואמת לחלוטין את תורת היחסות המיוחדת.
מאפייני משוואה
לתרגילים אלה יש גם סדרה של מאפיינים או אלמנטים ספציפיים, ביניהם החברים, מונחים, לא ידועים ופתרונות. החברים הם הביטויים שנמצאים ממש ליד השלטים השווים. המונחים הם אותם תוספות שהם חלק מהחברים, כמו כן, הלא ידועים מתייחסים לאותיות ולבסוף, לפתרונות, המתייחסים לערכים המאמתים שוויון.
סוגי משוואות
ישנם סוגים שונים של תרגילים מתמטיים שנלמדו ברמות שונות של חינוך, למשל משוואת הקו, משוואה כימית, איזון משוואות או מערכות משוואות שונות, אולם חשוב להזכיר כי אלה מסווגים ל נתונים אלגבריים, אשר בתורם יכולים להיות מדרגה ראשונה, שנייה ושלישית, דיופנטיות ורציונליות.
משוואות אלגבריות
זהו הערכת שווי המתבטאת בצורה של P (x) = 0 בה P (x) הוא פולינום שאינו ריק אך אינו קבוע ויש לו מקדמים שלמים עם דרגה n ≥ 2.
- לינארי: זהו שוויון שיש לו משתנה אחד או יותר בכוח הראשון ואינו זקוק למוצרים בין המשתנים הללו.
- ריבועי: יש לו ביטוי של ax² + bx + c = 0 שיש לו ≠ 0. כאן המשתנה הוא x, ya, b ו- c הם קבועים, המקדם הרביעי הוא a, השונה מ- 0. המקדם הליניארי הוא b והמונח עצמאי הוא ג.
הוא מאופיין בכך שהוא פולינום המתפרש באמצעות משוואת הפרבולה.
- מעוקב: נתונים מעוקבים שיש להם לא ידוע משתקפים בדרגה שלישית עם a, b, c ו- d (a ≠ 0), שמספרם הוא חלק מגוף של מספרים אמיתיים או מורכבים, אולם הם מתייחסים גם לספרות רציונליות.
- Biquadratic: זהו ביטוי משתנה יחיד, דרג רביעי אלגברי שיש לו רק שלושה מונחים: אחד של דרגה 4, אחד של דרגה 2, ומונח עצמאי. דוגמה לתרגיל biquad היא הבאה: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
הוא מקבל שם זה מכיוון שהוא מנסה לבטא מה יהיה מושג המפתח לתיחום אסטרטגיית רזולוציה: דו-ריבוע פירושו: "ריבועי פעמיים." אם אתה חושב על זה, המונח x4 יכול לבוא לידי ביטוי כ- (x 2) שהועלה ל- 2, מה שנותן לנו x4. במילים אחרות, דמיין שהמונח המוביל של הלא נודע הוא 3 × 4. באופן דומה, נכון לומר כי ניתן לכתוב מונח זה גם כ- 3 (x2) 2.
- דיופנטינים: זהו תרגיל אלגברי שיש בו שני או לא ידועים, בנוסף, מקדמיו כוללים את כל המספרים השלמים שיש לחפש אחר הפתרונות הטבעיים או השלמים. זה הופך אותם לחלק מכל קבוצת המספרים.
תרגילים אלה מוצגים כ- ax + by = c עם המאפיין של מצב מספיק והכרחי, כך של- ax + by = c עם a, b, c השייכים למספרים השלמים, יהיה פיתרון.
- רציונלי: הם מוגדרים כמנה של הפולינומים, שבהם למכנה יש מעלה אחת לפחות. אם כבר מדברים באופן ספציפי, חייב להיות אפילו משתנה אחד במכנה. הצורה הכללית המייצגת פונקציה רציונלית היא:
שבו p (x) ו- q (x) הם פולינומים ו- q (x) ≠ 0.
- מקבילות: זהו תרגיל עם שוויון מתמטי בין שני ביטויים מתמטיים, הנקראים איברים, בו מופיעים אלמנטים או נתונים ידועים, ואלמנטים לא ידועים או לא ידועים, הקשורים בפעולות מתמטיות. הערכים של המשוואה חייבים להיות מורכבים מספרים, מקדמים, או קבוע; כמו משתנים או אובייקטים מורכבים כמו וקטורים או פונקציות, אלמנטים חדשים חייבים להיות מורכבים ממשוואות אחרות של מערכת או מהליך פתרון פונקציות אחר.
משוואות טרנסצנדנטיות
זה לא יותר משוויון בין שני ביטויים מתמטיים שיש להם לא ידוע אחד או יותר שקשורים באמצעות פעולות מתמטיות, שהם אך ורק אלגבריים ויש להם פיתרון שלא ניתן לתת באמצעות הכלים הספציפיים או הנכונים של האלגברה. תרגיל H (x) = j (x) נקרא טרנסצנדנטי כאשר אחת מהפונקציות H (x) או j (x) אינה אלגברית.
משוואות דיפרנציאליות
בהם הפונקציות קשורות לכל אחת מהנגזרות שלהן. פונקציות נוטות לייצג כמויות פיזיקליות מסוימות, לעומת זאת, נגזרות מייצגות שיעורי שינוי, בעוד שהמשוואה מגדירה את הקשר ביניהן. אלה הם בעלי חשיבות רבה בתחומים רבים אחרים, כולל כימיה, ביולוגיה, פיזיקה, הנדסה וכלכלה.
משוואות אינטגרליות
הלא ידוע בפונקציות של נתונים אלה מופיע ישירות בחלק האינטגרלי. לתרגילים האינטגרליים והדיפרנציאליים יש הרבה מאוד קשר, אפילו כמה בעיות מתמטיות ניתן לנסח עם כל אחד משני אלה, דוגמה לכך היא מודל הוויסקואליסטיות של מקסוול.
משוואות פונקציונליות
זה בא לידי ביטוי באמצעות שילוב של פונקציות לא ידועות ומשתנים בלתי תלויים, בנוסף, יש לפתור גם את ערכו וגם את הביטוי שלו.
משוואות מדינה
אלו הם תרגילים מכוננים למערכות הידרוסטטיות המתארים את מצב הצבירה הכללית או עליית החומר, בנוסף, הוא מייצג קשר בין נפח, טמפרטורה, צפיפות, לחץ, פונקציות מצב ואנרגיה פנימית הקשורה לחומר..
משוואות תנועה
המשפט ההוא מתמטי המסביר את ההתפתחות הזמנית של משתנה או קבוצת משתנים הקובעים את המצב הפיזי של המערכת, עם ממדים פיזיקליים אחרים המקדמים את שינוי המערכת. משוואה זו בתוך הדינמיקה של נקודת החומר, מגדירה את המיקום העתידי של אובייקט על בסיס משתנים אחרים, כגון המסה, המהירות שלו או כל דבר אחר שעשוי להשפיע על תנועתו.
הדוגמה הראשונה למשוואת תנועה בפיזיקה הייתה שימוש בחוק השני של ניוטון למערכות פיזיקליות המורכבות מחלקיקים וחומרים נקודתיים.
משוואות מכוננות
זה לא יותר מאשר קשר בין המשתנים המכניים או התרמודינמיים הקיימים במערכת פיזיקלית, כלומר, שם יש מתח, לחץ, דפורמציה, נפח, טמפרטורה, אנטרופיה, צפיפות וכו '. לכל החומרים קשר מתמטי מכונן ספציפי מאוד, המבוסס על ארגון מולקולרי פנימי.
פתרון משוואות
כדי לפתור את המשוואות, יש צורך לחלוטין למצוא את תחום הפיתרון שלהן, כלומר את מערך או קבוצת הערכים של הלא ידועים בהם מתקיימת השוויון שלהם. ניתן להשתמש במחשבון משוואה מכיוון שבעיות אלו מתבטאות בדרך כלל בתרגיל אחד או יותר.
חשוב גם להזכיר כי לא לכל התרגילים הללו יש פיתרון, שכן סביר למדי שאין שום דבר בעלום שאינו ידוע המאמת את השוויון שהושג. במקרה מסוג זה, הפתרונות של התרגילים ריקים והוא מתבטא כמשוואה בלתי פתירה.
דוגמאות למשוואות
- תנועה: באיזו מהירות חייבת מכונית מירוץ לנסוע כדי לנסוע 50 ק"מ ברבע שעה? מכיוון שהמרחק מתבטא בקילומטרים, יש לכתוב את הזמן ביחידות שעות כדי לקבל את המהירות בקמ"ש. לאחר שיהיה ברור, אז הזמן שנמשך התנועה הוא:
המרחק במכונית נוסעת הוא:
פירוש הדבר שמהירותו חייבת להיות:
הנוסחה היא:
לכן עלינו לעזוב את ה- "n", ואנחנו מקבלים:
ואז הנתונים מוחלפים:
וכמות מספר השומות היא 13.64 שומות.
עכשיו יש לחשב את המסה. מכיוון שמדובר בגז מימן, יש להתייחס למשקל האטומי או למסה הטוחנת שלו, שהיא מולקולה דיאטומית, המורכבת משני אטומי מימן.
שלה משקל מולקולרי הוא 2 g / mol (בשל מאפיין diatomic שלה), אז זה מתקבל:
כלומר, הושגה מסה של 27.28 גרם.
- מכונן: ישנם 3 מוטות המחוברים לקורה נוקשה. הנתונים הם: P = 15,000 lbf, a = 5ft, b = 5ft, c = 8ft (1ft = 12 inch).
הפיתרון הוא שמניחים שיש דפורמציות קטנות ושהבורג נוקשה לחלוטין, ולכן בעת הפעלת הכוח P הקורה AB מסתובבת בצורה נוקשה על פי נקודה B.
